Qu’est‑ce qu’une équation tangente ? Définition, formule et exemples

La formule de l’équation tangente à une courbe

Pour une fonction f dérivable au point d’abscisse a, l’équation de la tangente à sa courbe représentative est : y = f’(a)(x − a) + f(a). Le nombre f’(a) est la pente de la tangente, tandis que le point A(a ; f(a)) est le point précis par lequel elle passe.

On rencontre aussi l’écriture Ta(x) = f’(a)(x − a) + f(a). Elle désigne la fonction affine dont le graphique est la droite tangente. Si l’énoncé demande « l’équation de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse a », c’est cette formule qu’il faut utiliser.

Tangente à une courbe

La tangente est la droite qui décrit la direction locale d’une courbe en un point. Pour une fonction dérivable, sa pente est donnée par la dérivée en ce point. Elle est la meilleure approximation affine de la courbe très près du point considéré.

À quoi correspondent f(a), f’(a) et a ?

La formule rassemble trois informations. L’abscisse a indique l’endroit de la courbe où l’on cherche la tangente. La valeur f(a) fournit l’ordonnée du point de contact. Enfin, f’(a) mesure la variation instantanée de la fonction : c’est le coefficient directeur de la droite.

Une droite de pente 3 monte de 3 unités quand x augmente de 1 unité. Une droite de pente −2 descend de 2 unités pour une unité parcourue vers la droite. Une pente nulle donne une tangente horizontale. C’est notamment le cas, sous certaines conditions, au voisinage d’un maximum ou d’un minimum de la fonction.

Comment calculer une équation de tangente : méthode en 5 étapes

Exemple détaillé : la tangente à f(x) = x² au point d’abscisse 1

Soit f(x) = x² et a = 1. Sa dérivée est f’(x) = 2x. On calcule alors f(1) = 1 et f’(1) = 2. La tangente est donc : y = 2(x − 1) + 1, soit après développement y = 2x − 1. Elle passe bien par A(1 ; 1), puisque 2 × 1 − 1 = 1.

Exemple avec une pente négative

Prenons f(x) = 1/x, définie pour x différent de 0, et cherchons la tangente au point d’abscisse a = 2. Sa dérivée est f’(x) = −1/x². Ainsi, f(2) = 1/2 et f’(2) = −1/4. L’équation s’écrit y = −1/4(x − 2) + 1/2, puis y = −x/4 + 1. La droite descend : c’est cohérent avec le signe négatif de la dérivée.

Tangente et courbe : elle peut aussi couper la courbe

Dire qu’une tangente « touche la courbe sans la couper » est une simplification souvent fausse. La caractéristique décisive n’est pas le nombre de points d’intersection entre la droite et la courbe, mais le fait qu’elles ont la même direction au point étudié.

L’exemple classique est f(x) = x³ au point a = 0. On a f(0) = 0 et f’(0) = 0, donc l’équation de la tangente est y = 0, l’axe des abscisses. Or la courbe de x³ traverse cet axe au point O. Elle coupe donc sa tangente tout en ayant une tangente parfaitement définie.

Les cas particuliers : dérivée nulle, point anguleux et tangente verticale

Si f’(a) = 0, la tangente est horizontale : son équation est simplement y = f(a). Cela peut correspondre à un sommet, mais pas automatiquement. La fonction x³ a une dérivée nulle en 0 sans y avoir ni maximum ni minimum : la courbe continue de croître avant et après ce point.

Si la fonction n’est pas dérivable en a, la formule générale ne s’applique pas. Avec f(x) = |x| au point 0, la pente vaut −1 à gauche et 1 à droite : le graphe forme un angle. Il n’y a donc pas une direction unique et pas de tangente unique.

Certaines courbes présentent une tangente verticale. Pour f(x) = ∛x, la courbe devient de plus en plus raide près de 0 ; sa tangente est la droite x = 0. Cette situation sort du modèle y = mx + p, car une droite verticale n’a pas de coefficient directeur réel fini.

Pourquoi l’équation tangente est utile : approcher une valeur

La tangente sert à estimer une fonction près d’un point où son calcul est facile. Puisque la droite et la courbe sont très proches autour de l’abscisse a, on peut utiliser f(x) ≈ f(a) + f’(a)(x − a) lorsque x est proche de a. Le symbole ≈ signifie « est approximativement égal à » : l’égalité exacte ne vaut en général qu’au point a.

Par exemple, pour estimer √4,04, prenez f(x) = √x autour de a = 4. On sait que f(4) = 2 et que f’(x) = 1/(2√x), donc f’(4) = 1/4. La tangente donne √4,04 ≈ 2 + (1/4)(4,04 − 4) = 2,01. La valeur réelle est très proche de 2,01, car 4,04 est proche de 4.

Plus x s’éloigne de a, moins l’approximation est fiable. Une tangente est un outil local, pas une copie de la courbe sur tout le graphique. En physique, en économie ou en ingénierie, cette idée permet de modéliser une variation faible autour d’un état de référence.

Écrire la tangente sous la forme y = mx + p

La forme y = f’(a)(x − a) + f(a) est la plus sûre pour construire la droite. Mais certains exercices demandent la forme réduite y = mx + p. Développez alors : y = f’(a)x − af’(a) + f(a). Ainsi, m = f’(a) et p = f(a) − af’(a).

Pour f(x) = x² au point a = 3, on a f(3) = 9 et f’(3) = 6. La forme point-pente donne y = 6(x − 3) + 9. En réduisant : y = 6x − 18 + 9, soit y = 6x − 9. L’ordonnée à l’origine est −9 ; elle n’est pas l’ordonnée du point de contact, qui vaut ici 9.